2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案

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湖北十堰郧西二中 廖德福 绝密★启封并使用完毕前 试题类型:A 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。

2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。

4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。

(1) 设复数 z 满足 (A)1 1+z =i,则|z|= 1 z (C) 3 (D)2 (B) 2 (2)sin20°cos10°-con160°sin10°= (A)  3 2 (B) n 3 2 ( C)  1 2 (D) 1 2 (3)设命题 P:  n  N, n > 2 ,则  P 为 2 2 (A)  n  N, n > 2 n 2 (B)  n  N, n ≤ 2 n 2 (C)  n  N, n ≤ 2 n 2 (D)  n  N, n = 2 n (4)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概 率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 1

湖北十堰郧西二中 廖德福 ( 5 ) 已 知 M ( x0 , y0 ) 是 双 曲 线 C : x2  y 2  1 上 的 一 点 , F1 , F2 是 C 上 的 两 个 焦 点 , 若 2 MF1 MF2  0 ,则 y0 的取值范围是 (A) (- 3 3 , ) 3 3 2 2 2 2 , ) 3 3 (B) (- 3 3 , ) 6 6 2 3 2 3 , ) 3 3 (C) ( (D) ( (6) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题 :“今有委米依垣内角, 下周八尺,高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥 的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已 知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 (7)设 D 为 ABC 所在平面内一点 BC  3CD ,则 1 4 AB  AC 3 3 4 1 (C) AD  AB  AC 3 3 (A) AD   1 4 AB  AC 3 3 4 1 (D) AD  AB  AC 3 3 (B) AD  (8)函数 f ( x)  cos( x  ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递减区间为 1 3 , k  ), k  Z 4 4 1 3 (C) (k  , k  ), k  Z 4 4 (A) ( k  (B) (2k  1 3 , 2k  ), k  Z 4 4 1 3 (D) (2k  , 2k  ), k  Z 4 4 2

湖北十堰郧西二中 廖德福 (9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (10) ( x2  x  y)5 的展开式中, x5 y 2 的系数为 (A)10 (B)20 (C)30 (D)60 (11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视 图和俯视图如图所示。

若该几何体的表面积为 16 + 20  ,则 r = 3

湖北十堰郧西二中 廖德福 (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 12.设函数 f ( x)  ex (2x 1)  ax  a ,其中 a  1 ,若存在唯一的整数 x0 ,使得 f ( x0 )  0 ,则 a 的 取值范围是( ) A. [  3 ,1) 2e B. [  3 3 , ) 2e 4 C. [ 3 3 , ) 2e 4 D. [ 3 ,1) 2e 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作 答。

第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 (13)若函数 f ( x)  x ln( x  a  x 2 ) 为偶函数,则 a  (14)一个圆经过椭圆 x2 y 2   1 的三个顶点,且圆心在 x 轴上,则该圆的标准方程为 16 4 。

 x  1  0, y  (15)若 x, y 满足约束条件  x  y  0, 则 的最大值为  x  y  4  0, x  . (16)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值范围是 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

(17) (本小题满分 12 分) 4

湖北十堰郧西二中 廖德福 Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0, (Ⅰ)求{an}的通项公式: (Ⅱ)设 ,求数列 }的前 n 项和 (18)如图, ,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD, DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。

(1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 (19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售 量y (单位: t) 和年利润 z (单位: 千元) 的影响, 对近 8 年的年宣传费 x1 和年销售量 y1 (i=1,2, · · · , 8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。

x y w  x 1 1 (x1- x ) 2  x 1 1 (w1- w ) 2  x 1 1 ( x1- x )  x 1 1 (w1- w ) (y- y ) 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 (y- y ) 108.8 表中 w1 = x 1, , w = 1 8  w1 x 1 1 5

湖北十堰郧西二中 廖德福 (1) 根据散点图判断, y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方 程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。

根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? vn),其回归线 v=    u 的斜率和截距的 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)„„.. (un 最小二乘估计分别为: (20) (本小题满分 12 分) x2 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y= 与直线 y=ks+a(a>0)交与 M,N 两点, 4 (Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 K 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由。

(21) (本小题满分 12 分) 3 已知函数 f(x)= x  ax  1 , g ( x)   ln x 4 (Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y  f ( x) 的切线; (Ⅱ)用 min m, n 表示 m,n 中的最小值,设函数 h( x)  min f ( x), g ( x)   (x  0) ,讨论 h (x)零点的个数 请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。

注意:只能做所选定的题目。

如果多做,则按 6

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